| Bài viết hoặc đoạn này cần người am hiểu về chủ đề này trợ giúp biên tập mở rộng hoặc cải thiện. Bạn có thể giúp cải thiện trang này nếu có thể. Xem trang thảo luận để biết thêm chi tiết. |
Cho X là một không gian chuẩn tắc, lấy F là một tập đóng trong X.Cho
liên tục, khi đó có một ánh xạ liên tục
sao cho
.
Vì vậy trong một không gian định chuẩn, một hàm thực trên một không gian con đóng có thể được mở rộng thành một hàm thực liên tục trên toàn bộ không gian đó.
a) Trường hợp tổng quát có thể suy ra từ trường hợp khi mà
và
chúng ta sẽ thu hẹp sự chú ý trong trường hợp này.
b) Theo Định lý Urysohn có một hàm liên tục
sao cho:
Lấy
. Khi đó
,
và
c) Chúng ta có hàm số
, chúng ta sẽ thu được một hàm số
sao cho:
Lấy
, Khi đó
và
, và
d) Chuỗi
hội tụ đều về hàm liên tục g.
e) Vì
, chuỗi
hội tụ đều về f.Do đó
.
f) Chú ý rằng việc xây dựng này thì
và
- Trường hợp f không bị chặn.
a) Giả sử rằng f hoặc bị chặn dưới, hoặc bị chặn trên, lấy h là một phép đồng phôi từ
vào
.Khi đó miền xác định của
là một tập con của
, do đó nó có thể mở rộng như hàm liên tục
phía trước sao cho
và
Nếu miền xác định của
bao gồm hoặc 0 hoặc 1 khi đó
là hàm như ta mong đợi.
Nếu có trường hợp xảy ra như sau: miền xác định của
bao gồm cả 0 và 1. Trong trường hợp này lấy
.Chú ý rằng C giao F bằng trống.Theo bổ đề Urysohn, có một hàm liên tục
sao cho
,
. Lấy
. Khi đó
và miền xác định của
là tập con của
, khi đó
là hàm như ta mong đợi.
b) Nếu f bị chặn dưới khi đó tương tự như trường hợp trước chúng ta có thể sử dụng phép đồng phôi
, và chúng ta đặt
Trường hợp f bị chặn trên là tương tự